2022-2023衡水金卷先享题高二同步周测卷新教材数学双曲线、抛物线4

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(2009·江苏张家港)下列词语中加点字读音完全相同的一组是

A.沏茶栖息休戚相关期期艾艾
B.余暇裴葭闻名遐尔白璧微瑕
C.饯行践诺图穷匕见从谏如流
D.殷红荫翳万马齐喑绿草如茵

(A、均读qí，B、葭读qiá，余读xiá，C、见读xiàn余读jiàn，D、殷读yān，余读yìn)

7．已知函数f（x）=x³-3a²x-6a²+4a（a＞0）有且仅有一个零点x₀，若x₀＞0，则a的取值范围是（　　）

试题答案

分析 先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．

解答 解：令f’（x）=3x²-3a²=3（x-a）（x+a）=0，解得x₁=-a，x₂=a，
其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：
x∈（-∞，-a），f（x）递增；x∈（-a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．
因此，f（x）在x=-a处取得极大值，在x=a处取得极小值，
结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x₀，且x₀＞0，只需满足：
f（x）_极大值=f（-a）＜0，即-a³+3a³-6a²+4a＜0，
整理得a（a-1）（a-2）＜0，解得，a∈（1，2），
故选B．

点评 本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题．