衡水金卷先享题压轴卷2022数学(二)

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【题目】设等比数列的前项和为；数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；

②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列,设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：（1）求出数列的首项和公比，即可求数列的通项公式；（2）①求出数列的前几项，根据等差数列的性质建立方程即可求出；②讨论的取值，根据的关系进行求解即可．

详解：（1）当时，，，

则公比，则

（2）①当时，得 时，得；时，得，

则由，得．

而当时，由得．

由，知此时数列为等差数列．

②由题意知，

则当时，，不合题意，舍去；

当时，，所以成立；

当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，

则：

又，所以 ，

即，所以

因为为奇数，而为偶数，所以上式无解．

即当时，

综上所述，满足题意的正整数仅有．