2022衡水金卷先享题压轴卷数学试题(二)

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【题目】已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.

(1) 求数列的通项公式；

(2) 设数列{bn}满足 bn=,是否存在正整数，使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.

(3) 令,记数列{cn}的前项和为,其中,证明：.

【答案】（1）（2）存在，（3）证明见解析

【解析】分析：（1）由已知条件推导出数列{an}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．

（2）=，若b1，bm，bn成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，bm，bn成等比数列．

（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．

详解：（1）解：∵an+12=2an2+anan+1，∴（an+1+an）（2an﹣an+1）=0，

又an＞0，∴2an﹣an+1=0，即2an=an+1，

∴数列{an}是公比为2的等比数列．

由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．

∴数列{an}的通项公式为，n∈N*．

（2）解：=，若b1，bm，bn成等比数列，则（）2=，

即．

由，得，

∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．

又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．

故当且仅当m=2，n=12．使得b1，bm，bn成等比数列．

（3）证明：=

=[]

=[]，

∴[]

=

=，

∵（）n+1递减，

∴0＜（）n+1≤

∴，∴．