衡水金卷先享题压轴卷2022文科数学

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【题目】已知三棱柱的底面是正三角形，侧面为菱形，且，平面平面，分别是的中点.

（I）求证：∥平面；

（II）求证：；

（III）求BA1与平面所成角的大小．

【答案】（1）见解析.

（2）见解析.

（3）.

【解析】分析：（Ⅰ）取的中点，连接，.可证明四边形为平行四边形，

所以∥，由线面平行的判定定理可得结果；（II）取的中点,连结，，由面面垂直的性质可得平面， 所以，由菱形的性质结合∥, 可得，从而得平面，进而可得结果；（III）连结A1O，由（Ⅱ）知平面所以为BA1与平面所成的角 ，在直角三角形中，，从而可得结果.

详解：

证明：（Ⅰ）取的中点，连接，.

因为，分别是,的中点，

所以∥,

又因为∥

所以∥且

所以四边形为平行四边形，

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面．

（Ⅱ）取的中点,连结，.

由题意知 ，

又因为平面平面，

所以平面．

因为平面 所以

因为四边形为菱形，所以

又因为∥, 所以

所以平面，又平面

所以．

（III）连结A1O，由（Ⅱ）知平面

所以为BA1与平面所成的角

在直角三角形中，

所以，即BA1与平面所成的角为